$\left\{\vec a.(\vec b×\hat i)\right\}\hat i+\left\{\vec a.(\vec b×\hat j)\right\}\hat j+\left\{\vec a.(\vec b×\hat k)\right\}\hat k =$

$\vec a×\vec b$

We have,

$\left\{\vec a.(\vec b×\hat i)\right\}\hat i+\left\{\vec a.(\vec b×\hat j)\right\}\hat j+\left\{\vec a.(\vec b×\hat k)\right\}\hat k$

$=\left\{(\vec a×\vec b).\hat i)\right\}\hat i+\left\{(\vec a×\vec b).\hat j)\right\}\hat j+\left\{(\vec a×\vec b).\hat k)\right\}\hat k$

$=\vec a×\vec b$   $[∵\vec r(\vec r.\hat i)\hat i + (\vec r⋅\hat j)\hat j+(\vec r.\hat k)\hat k]$