If 1 + 2tan² θ + 2sin θ sec² θ = \(\frac{m}{n}\), 0° < θ < 90°, then \(\frac{m + n}{m - n}\) ?

cosec θ

⇒ 1 + tan² θ + tan² θ + 2tan θ sec θ

⇒ (tan θ + sec θ)² = \(\frac{m}{n}\)

⇒ ( \(\frac{1 + sin θ}{cos θ}\))² =  \(\frac{m}{n}\)  

⇒ \(\frac{(1 + sin θ)^2}{(1 - sin^2 θ)}\)= \(\frac{m}{n}\)

⇒ \(\frac{(1 + sin θ)^2}{(1 + sin θ)(1 - sin θ)}\) = \(\frac{m}{n}\) 

⇒ \(\frac{1 + sin θ}{1 - sin θ}\) = \(\frac{m}{n}\)

⇒ \(\frac{m + n}{m - n}\) = \(\frac{(1 + sin θ) + (1 - sin θ)}{(1 + sin θ) - (1 - sin θ)}\)

= \(\frac{2}{2sin θ}\) = \(\frac{1}{sin θ}\) = cosec θ