Let $\vec a,\vec b,\vec c$ be three non-zero non-coplanar vectors and $\vec{b_1}=\vec b-\frac{\vec b.\vec a}{|\vec a|^2}\vec a,\vec{b_2}=\vec b+\frac{\vec b.\vec a}{|\vec a|^2}\vec a$ and, $\vec{c_1}=\vec c-\frac{\vec c.\vec a}{|\vec a|^2}\vec a-\frac{(\vec c.\vec b)}{|\vec b|^2}\vec b,\vec{c_2}=\vec c-\frac{\vec c.\vec a}{|\vec a|^2}\vec a-\frac{(\vec c.\vec {b_1})}{|\vec {b_1}|^2}\vec {b_1}, \vec{c_3}=\vec c-\frac{\vec c.\vec a}{|\vec a|^2}\vec a-\frac{(\vec c.\vec {b_2})}{|\vec {b_2}|^2}\vec {b_2},\vec{c_4}=\vec c-\frac{\vec c.\vec a}{|\vec a|^2}\vec a$

Then which of the following is a set of mutually orthogonal vectors?

$\{\vec a,\vec{b_1},\vec{c_2}\}$

We have,

$\vec a.\vec{b_1}=\vec a.\vec b-\frac{(\vec b.\vec a)}{|\vec a|^2}(\vec a.\vec a)=0$

$\vec a.\vec{c_2}=\vec a.\vec c-(\vec c.\vec a)-\frac{(\vec c.\vec{b_1})}{|\vec{b_1}|^2}(\vec a.\vec{b_1})=0$    $[∵\vec c.\vec{b_1}=0]$

and, $\vec{b_1}.\vec{c_2}=\vec{b_1}.\vec c-\frac{\vec c.\vec a}{|\vec a|^2}(\vec{b_1}.\vec a)-(\vec c.\vec{b_1})=0$

$∴\vec a,\vec{b_1},\vec{c_2}$ form a set of mutually orthogonal vectors.