The value of $\frac{\sqrt{2} \tan \left(60^{\circ}-\theta\right) \tan \left(30^{\circ}+\theta\right)}{\sin ^2\left(45^{\circ}+\theta\right)+\sin ^2\left(45^{\circ}-\theta\right)}$ is:

$\sqrt{2}$

\(\frac{ √2tan (60º-θ) . tan (30º+θ) }{sin²( 45º+θ) +sin²( 45º-θ)  }\)

Let us assume that , θ = 15º

= \(\frac{ √2tan (60º-15º ) . tan (30º+15º ) }{sin²( 45º+15º ) +sin²( 45º-15º )  }\)

= \(\frac{ √2tan (45º ) . tan (45º ) }{sin²( 60º ) +sin²( 30º )  }\)

= \(\frac{ √2 }{3/4 +1/4  }\)

= \(\sqrt {2 }\)