If $\vec a,\vec b,\vec c$ are any three non-coplanar vectors, then $\begin{bmatrix}\vec a+\vec b+\vec c&\vec a-\vec c&\vec a-\vec b\end{bmatrix}$ is equal to

0 $[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$ $2[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$ $-3[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$

$-3[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$

Clearly, $\begin{bmatrix}\vec a+\vec b+\vec c&\vec a-\vec c&\vec a-\vec b\end{bmatrix}$ $=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]=-3[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$