If $\int\limits_a^b\{f(x)-3 x\} d x=a^2-b^2$, then the value of $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$, is

$\frac{\pi}{6}$

We have,

$\int\limits_a^b\{f(x)-3 x\} d x=a^2-b^2$

$\Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x-3 \int\limits_a^b x d x=a^2-b^2$

$\Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x-\frac{3}{2}\left(b^2-a^2\right)=a^2-b^2$

$\Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x=\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)$

$\Rightarrow f(x)=x$                $\left[∵ \int\limits_a^b x d x=\frac{1}{2}\left(b^2-a^2\right)\right]$

$\Rightarrow f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}$