If $\vec a,\vec b,\vec c$ are non-null non-coplanar vectors, then $\begin{bmatrix}\vec a-2\vec b+c&\vec b-2\vec c+\vec a&\vec c-2\vec a+\vec b\end{bmatrix}=$

0

Let $\vec α =\vec a -2\vec b+\vec c, \vec β=\vec b-2\vec c+\vec a$ and $\vec γ=\vec c-2\vec a+\vec b$. Then,

$[\vec α\,\,\vec β\,\,\vec γ]=\begin{vmatrix}1&-2&1\\1&1&-2\\-2&1&1\end{vmatrix}[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$

$⇒[\vec α\,\,\vec β\,\,\vec γ]=0×[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]=0$