If $\vec α = x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)$ and $[\vec a\,\vec b\,\vec c]=\frac{1}{8}$, then $x + y + z =$

$8\vec α. (\vec a+\vec b+\vec c)$

We have,

$\vec α = x(\vec a×\vec b) + y (\vec b×\vec c) + z(\vec c×\vec a)$

Taking dot products with $\vec a,\vec b$ and $\vec c$ respectively, we get

$\vec α.\vec a=y[\vec a\,\vec b\,\vec c]⇒y=8(\vec α.\vec a)$

$\vec α.\vec b=z[\vec a\,\vec b\,\vec c]⇒z=8(\vec α.\vec b)$

and $\vec α.\vec c=x[\vec a\,\vec b\,\vec c]⇒x=8(\vec α.\vec c)$

$∴x + y + z = 8\vec α. (\vec a+\vec b+\vec c)$