$tan^{-1}\left(tan\sqrt{1-\theta }\right) = \sqrt{1-\theta }$ when

$ \frac{4-\pi^2}{4} < \theta ≤ 1$

Clearly, $\sqrt{1-\theta }$ is real, if $\theta ≤ 1$

Now,

$tan^{-1}\left(tan\sqrt{1-\theta }\right) = \sqrt{1-\theta }$

$ ⇒ 0 ≤\sqrt{1-\theta } < \frac{\pi}{2} $ and $ \theta ≤ 1$

$ ⇒ 0 ≤1-\theta  < \frac{\pi^2}{4} $ and $ \theta ≤ 1$

$ ⇒ -1 ≤-\theta  < \frac{\pi^2}{4} -1$ and $ \theta ≤ 1$

$ ⇒ 1- \frac{\pi^2}{4} < \theta ≤ 1$ and $\theta ≤ 1 ⇒\frac{4-\pi^2}{4} < \theta ≤ 1$