If $2 \sin (3x - 15)^\circ = 1, 0^\circ < (3x - 15) < 90^\circ$, then find the value of $\cos^2 (2x + 15)^\circ + \cot^2 (x + 15)^\circ$.

$\frac{7}{2}$

We are given that :-

2 sin ( 3x - 15 )º = 1

sin ( 3x - 15 )º = \(\frac{1}{2}\)

{ we know, sin 30º = \(\frac{1}{2}\) }

So,  ( 3x - 15 )º = 30º

3x = 45º

x = 15º

Now,

cos² ( 2x + 15 )º + cot² ( x + 15 )º

= cos² ( 2 × 15 + 15 )º + cot² ( 15 + 15 )º

= cos² (45 )º + cot² ( 30 )º

= \(\frac{1}{2}\) + 3

= \(\frac{7}{2}\)