If $m, n \in N$, then $\int\limits_0^{\pi / 2} \frac{\sqrt[n]{\sin ^m x}}{\sqrt[n]{\sin ^m x}+\sqrt[n]{\cos ^m x}} d x$ is equal to

$\frac{\pi}{4}$

Let $I=\int\limits_0^{\pi / 2} \frac{\sqrt[n]{\sin ^m x}}{\sqrt[n]{\sin ^m x}+\sqrt[n]{\cos ^m x}} d x$         ....(i)

Then,

$I=\int\limits_0^{\pi / 2} \frac{\sqrt[n]{\cos ^m x}}{\sqrt[n]{\cos ^m x}+\sqrt[n]{\sin ^m x}} d x$              [Using $\int\limits_0^a f(x) dx = \int\limits_0^a f(a-x)dx$]          ......(ii)

Adding (i) and (ii), we get

$2 \pi=\int\limits_0^{\pi / 2} 1 . d x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}$