Given any vector $\vec r,\,|\vec r×\hat i|^2+|\vec r×\hat j|^2+|\vec r×\hat k|^2$ equals:

$2|\vec r|^2$

$s=|\vec r×\hat i|^2+|\vec r×\hat j|^2+|\vec r×\hat k|^2$

$|\vec r×\hat i|^2=(\vec r×\hat i).(\vec r×\hat i)=(\vec r.\vec r)(\hat i.\hat i)-(\vec r.\hat i)(\hat i.\vec r)=|\vec r|^2-(r_x).(r_x)$

Similarly, find for others.

$s=3|\vec r|^2-(r_x^2+r_y^2+r_z^2)=2|\vec r|^2$