If $\vec r$ is a unit vector such that $\vec r = x(\vec b×\vec c) + y (\vec c×\vec a)+z(\vec a×\vec b)$, then $\left|(\vec r.\vec a) (\vec b×\vec c)+(\vec r.\vec b) (\vec c×\vec a)+(\vec r.\vec c) (\vec a×\vec b)\right|$ is equal to

$\left|[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\right|$

We have,

$\vec r = x(\vec b×\vec c) + y (\vec c×\vec a)+z(\vec a×\vec b)$  ...(i)

$\vec r.\vec a=x[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c],\vec r.\vec b=y[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$ and $\vec r.\vec c=z[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]$

Substituting the values of $x, y, z$ in (i), we get

$[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r=(\vec r.\vec a) (\vec b×\vec c)+(\vec r.\vec b) (\vec c×\vec a)+(\vec r.\vec c) (\vec a×\vec b)$

$⇒\left|(\vec r.\vec a) (\vec b×\vec c)+(\vec r.\vec b) (\vec c×\vec a)+(\vec r.\vec c) (\vec a×\vec b)\right|$

$=\left|[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\vec r\right|$

$=\left|[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\right||\vec r|=\left|[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]\right|$   $[∵|\vec r|=1]$