If $\vec a,\vec b,\vec c$ and $\vec a',\vec b',\vec c'$ form a reciprocal system of vectors, then $\vec a.\vec a'+\vec b.\vec b'+\vec c・\vec c' =$

3

We have,

$\vec{a'}=\frac{\vec b×\vec c}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]},\vec{b'}=\frac{\vec c×\vec a}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$ and $\vec{c'}=\frac{\vec a×\vec b}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$

or, $\vec{a'}=λ(\vec b×\vec c),\vec{b'}=λ(\vec c×\vec a)$ and $\vec{c'}=λ(\vec a×\vec b)$,

where $λ=\frac{1}{[\vec a\,\,\vec b\,\,\vec c]}$

$\vec a.\vec {a'}=\vec b.\vec {b'}=\vec c・\vec {c'} =1$

$∴\vec a.\vec {a'}+\vec b.\vec {b'}+\vec c・\vec {c'} =1+1+1=3$