Practicing Success
Distance of the point $P(\vec{c})$ from the line $\vec{r} = \vec{a}+λ \vec{b}$, is |
$\frac{|(\vec{c}-\vec{a})×\vec{b}|}{|\vec{b}|}$ $\frac{|(\vec{c}-\vec{a}).\vec{b}|}{|\vec{b}|}$ $\frac{|(\vec{c}-\vec{a})×\vec{b}|}{|\vec{b}|^2}$ none of these |
$\frac{|(\vec{c}-\vec{a})×\vec{b}|}{|\vec{b}|}$ |
We have, QM = Projection of $\vec{QP}$ on $\vec{b}$ $⇒ QM = |\vec{QP}.\vec{b}|= |(\vec{c}-\vec{a}).\vec{b}| = \frac{|(\vec{c}-\vec{a}).\vec{b}|}{|\vec{b}|}$
In right angled triangle PMQ, we have $PM^2 = PQ^2 - QM^2$ $⇒ PM = \sqrt{|\vec{c}-\vec{a}|^2=\frac{|(\vec{c}-\vec{a}).\vec{b}|^2}{|\vec{b}|^2}}$ $⇒ PM = \sqrt{\frac{|\vec{c} - \vec{a}|^2|\vec{b}|^2-|(\vec{c}-\vec{a}).\vec{b}|^2}{|\vec{b}|^2}}$ $⇒ PM = \frac{|(\vec{c}-\vec{a}).\vec{b}|}{|\vec{b}|}$ $[∵ |\vec{α}×\vec{β}|^2 = |\vec{α}|^2|\vec{β}|^2 - (\vec{α}.\vec{β})^2 ]$ |