$\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{2 \pi-x}} d x$ is equal to

$\frac{\pi}{2}$

$I =\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{2 \pi-x}} d x$         ....(1)

$ =\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \frac{\sqrt{2 \pi-x}}{\sqrt{2 \pi-x}+\sqrt{x}} d x$         ....(2)

as  $\int\limits_a^b f(x) d x=\int\limits_a^b f(a+b-x) d x$

eq. (1) + eq. (2)

⇒  $2 I=\int\limits_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2 \pi-x}}{\sqrt{x}+\sqrt{2 \pi-x}} d x$

$\Rightarrow 2 I=\int\limits_{\pi / 2}^{3 \pi / 2} 1 d x$

$\Rightarrow 2 I=\left[\frac{3 \pi}{2} - \frac{\pi}{2}\right]$

so  $2 I=\pi$

so  $I = \frac{\pi}{2}$