If a - b sin θ = 2cos θ , and a² - b²sin² θ = 8 cos² θ , then find the value of (9b² - a²).

a²b²

If a² - b² sin² θ = 8cos² θ                                            a² - b² = (a+b)(a-b)

then  (a + bsin θ ) (a - bsin θ ) = 8cos²θ                      (a - bsin θ = 2cos θ )(given)

⇒ (a + bsin θ ) = \(\frac{8 cos^2 θ }{2cos θ }\) = 4cos θ

Now →

a + bsin θ = 4cos θ     ...........(i)

a - bsin θ = 2cos θ     ............(ii)

-------------------------------------------

 {(i) + (ii)}

⇒ 2a = 6cos θ

⇒ a = 3cos θ

⇒ sec θ = \(\frac{3}{a}\)  ------ (iii)

 {(i) - (ii)}

⇒ 2bsin θ = 2cos θ

⇒ tan θ = \(\frac{1}{b}\)  ---- (iv)

Now, from (iii) and (iv)

⇒ sec² θ - tan² θ = 1

⇒ (\(\frac{3}{a}\))² - (\(\frac{1}{b}\))² = 1

⇒ (\(\frac{9}{a^2}\)) - (\(\frac{1}{b^2}\)) = 1

⇒  9b² - a² = a²b²