The value of the determinant $Δ=\begin{vmatrix}1+a_1\,b_1&1+ a_1\,b_2&1+a_1\,b_3\\1+a_2\,b_1&1+ a_2\,b_2&1+a_2\,b_3\\1+a_3\,b_1&1+ a_3\,b_2&1+a_3\,b_3\end{vmatrix}$, is

none of these

We have,

$Δ=\begin{vmatrix}1&1+ a_1\,b_2&1+a_1\,b_3\\1&1+ a_2\,b_2&1+a_2\,b_3\\1&1+ a_3\,b_2&1+a_3\,b_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_1\,b_1&1+ a_1\,b_2&1+a_1\,b_3\\a_2\,b_1&1+ a_2\,b_2&1+a_2\,b_3\\a_3\,b_1&1+ a_3\,b_2&1+a_3\,b_3\end{vmatrix}$

Applying $C_2 →C_2-C_1, C_3→C_3-C_1$ in first determinant and $C_2 →C_2-(\frac{b_2}{b_1})C_1,C_3 → C_3 -\frac{b_3}{b_1}C_1$ in second determinant, we get

$Δ=\begin{vmatrix}1&1+ a_1\,b_2&a_1\,b_3\\1&a_2\,b_2&a_2\,b_3\\1&a_3\,b_2&a_3\,b_3\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_1\,b_1& 1&1\\a_2\,b_1&1&1\\a_3\,b_1&1&1\end{vmatrix}$

$⇒Δ=b_1b_2\begin{vmatrix}1&1+ a_1&a_1\\1&a_2&a_2\\1&a_3&a_3\end{vmatrix}+0$

$⇒Δ=0+0=0$