(vec a×vec b).(vec c×vec d) is not equal to

Clearly,

$(\vec a×\vec b).(\vec c×\vec d)=\{(\vec a×\vec b)×\vec c\}.\vec d$

$⇒(\vec a×\vec b).(\vec c×\vec d)=\{(\vec c.\vec a)\vec b-(\vec c.\vec b).\vec a\}.\vec d$

$⇒(\vec a×\vec b).(\vec c×\vec d)=(\vec a.\vec c)(\vec b.\vec d)-(\vec a.\vec d)(\vec b.\vec c)$

Also, we have

$(\vec a×\vec b).(\vec c×\vec d)=\vec a.\{\vec b×(\vec c×\vec d)\}$

and, $(\vec a×\vec b).(\vec c×\vec d)=(\vec d×\vec c).(\vec b×\vec a)$

Hence, vector in option (2) is not equal to the given vector.