If $\vec{OA}=\vec a, \vec{OB}=\vec b, \vec{OC} = 2\vec a+3\vec b, \vec{OD}=\vec a-2\vec b$ are such that the length of $\vec{OA}$, is three times the length of $\vec{OB}$ and $\vec{OA}$ is perpendicular to $\vec{DB}$, then $(\vec{BD}×\vec{AC}).(\vec{OD} +\vec{OC})=$

0

We have,

$|\vec{OA}|=3|\vec{OB}|$ and $\vec{OA}⊥\vec{DB}$

$⇒|\vec a|=3|\vec b|$ and $\vec{OA}.\vec{DB}=0$

$⇒|\vec a|=3|\vec b|$ and $\vec a. (\vec b-\vec a+2\vec b)=0$

$⇒|\vec a|=3|\vec b|$ and $3(\vec a.\vec b)=|\vec a|^2$

$⇒|\vec a|=3|\vec b|$ and $\vec a.\vec b=3|\vec b|^2$ 

Now, $(\vec{BD}×\vec{AC}).(\vec{OD}×\vec{OC})$

$=[(\vec a-3\vec b)×(\vec a + 3\vec b)].[(\vec a-2\vec b)×(2\vec a+3\vec b)]$

$=\left\{6(\vec a×\vec b)\right\}.\left\{7(\vec a×\vec b)\right\}=42|\vec a×\vec b|^2$

$=42\left\{|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a.\vec b)\right\}=42\left\{9|\vec a|^4-9|\vec a|^4\right\}=0$