If $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$, then find $A^2 + 2A + 7I$.

$\begin{bmatrix} 18 & 8 \\ 16 & 18 \end{bmatrix}$

The correct answer is Option (1) → $\begin{bmatrix} 18 & 8 \\ 16 & 18 \end{bmatrix}$ ##

We have, $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$

$∴A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \quad [∵A^2 = A \cdot A]$

$= \begin{bmatrix} 1+8 & 2+2 \\ 4+4 & 8+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}$

$∴A^2 + 2A + 7I = \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 9+2+7 & 4+4+0 \\ 8+8+0 & 9+2+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 8 \\ 16 & 18 \end{bmatrix}$