Evaluate $\begin{vmatrix} 3x & -x + y & -x + z \\ x - y & 3y & z - y \\ x - z & y - z & 3z \end{vmatrix}$.

$3(x + y + z)(xy + yz + zx)$

The correct answer is Option (3) → $3(x + y + z)(xy + yz + zx)$ ##

We have, $\begin{vmatrix} 3x & -x + y & -x + z \\ x - y & 3y & z - y \\ x - z & y - z & 3z \end{vmatrix}$

On applying, $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ we get

$= \begin{vmatrix} x + y + z & -x + y & -x + z \\ x + y + z & 3y & z - y \\ x + y + z & y - z & 3z \end{vmatrix}$

$= (x + y + z) \begin{vmatrix} 1 & -x + y & -x + z \\ 1 & 3y & z - y \\ 1 & y - z & 3z \end{vmatrix}$  [taking $(x + y + z)$ common from column $C_1$]

$= (x + y + z) \begin{vmatrix} 1 & -x + y & -x + z \\ 0 & 2y + x & x - y \\ 0 & x - z & 2z + x \end{vmatrix} \quad [∵R_2 \to R_2 - R_1 \text{ and } R_3 \to R_3 - R_1]$

Now, on expanding along first column, we get

$= (x + y + z) \cdot 1 [(2y + x)(2z + x) - (x - y)(x - z)]$

$= (x + y + z) (4yz + 2yx + 2xz + x^2 - x^2 + xz + yx - yz)$

$= (x + y + z) (3yz + 3yx + 3xz)$

$= 3(x + y + z)(yz + yx + xz)$