The integral $\int\limits_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \frac{1}{1+\cos x} d x$, is equal to

2

Let $I=\int\limits_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \frac{1}{1+\cos x} d x$. Then,          .....(i)

$I=\int\limits_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \frac{1}{1+\cos (\pi-x)} d x$            $\left[∵ \int\limits_a^b f(x) d x=\int\limits_a^b f(a+b-x) d x\right]$

$\Rightarrow I=\int\limits_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \frac{1}{1-\cos x} d x$            ....(ii)

Adding (i) and (ii), we obtain

$2 I=\int\limits_{\pi / 4}^{3 \pi / 4}\left(\frac{1}{1+\cos x}+\frac{1}{1-\cos x}\right) d x$

$\Rightarrow 2 I=\int\limits_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} 2 ~cosec^2 x d x=2[-\cot x]_{\pi / 4}^{3 \pi / 4}$

$\Rightarrow I=2$