$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ is

2

$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}$,  let  $x=\cos \theta$

$\Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \sin ^{-1} (\sin 2 \theta)=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} 2 \theta$

$=2 \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \tan ^{-1} x=2 \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan ^{-1} x}{x}=2$

Hence (1) is the correct answer.