Practicing Success
If a, b, c are real, then $f(x)=\begin{vmatrix}x+a^2&ab&ac\\ab&x+b^2&bc\\ac&bc&x+c^2\end{vmatrix}$ is decreasing in |
$(-\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2),0)$ $(0,\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2))$ $(\frac{a^2+b^2+c^2}{3},0)$ No where |
$(-\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2),0)$ |
$f'(x)=\begin{vmatrix}1&0&0\\ab&x+b^2&bc\\ac&bc&x+c^2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}x+a^2&ab&ac\\0&1&0\\ac&bc&x+c^2\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}x+a^2&ab&ac\\ab&x+b^2&bc\\0&0&1\end{vmatrix}$ $=(x+b^2)(x+c^2)-b^2c^2+(x+a^2)(x+c^2)-a^2c^2+(x+a^2)(x+b^2)-a^2b^2$ $=3x^2+2x(a^2+b^2+c^2)$ $f ( x)$ will be decreasing when $f'(x)<0$ $⇒3x^2+2x(a^2+b^2+c^2)<0⇒x∈(-\frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2),0)$ |