$\int x^2 e^{x^3} \cos \left(e^{x^3}\right) d x$ is equal to

$\frac{1}{3} \sin \left(e^{x^3}\right)+C$

We have,

$I=\int x^2 e^{x^3} \cos \left(e^{x^3}\right) d x=\frac{1}{3} \int \cos \left(e^{x^3}\right) 3 x^2 e^{x^3} d x$

$\Rightarrow I =\frac{1}{3} \int \cos \left(e^{x^3}\right) d\left(e^{x^3}\right)=\frac{1}{3} \sin \left(e^{x^3}\right)+C$