If $\vec a$ and $\vec b$ are two unit vectors, then the vector $(\vec a + \vec b) × (\vec a × \vec b)$ is parallel to the vector
Answer & explanation
Correct answer: option 2
We have,
$(\vec a+\vec b)× (\vec a × \vec b)=\vec a ×(\vec a × \vec b)+\vec b ×(\vec a × \vec b)$
$⇒(\vec a+\vec b)× (\vec a × \vec b)=(\vec a.\vec b)\vec a-(\vec a.\vec a)\vec a+(\vec b.\vec b)\vec a-(\vec b.\vec a)\vec b$
$⇒(\vec a+\vec b)× (\vec a × \vec b)=(\vec a.\vec b)\vec a-|\vec a|^2\vec b+|\vec b|^2\vec a-(\vec a.\vec b)\vec b$
$⇒(\vec a+\vec b)× (\vec a × \vec b)=(\vec a.\vec b)\vec a-\vec b+\vec a-(\vec a.\vec b)\vec b$ $[∵|\vec a|=|\vec b|=1]$
$⇒(\vec a+\vec b)× (\vec a × \vec b)=(\vec a.\vec b+1)\vec a-(\vec a.\vec b+1)\vec b$
$⇒(\vec a+\vec b)× (\vec a × \vec b)=(\vec a.\vec b+1)(\vec a-\vec b)$
Hence $(\vec a+\vec b)× (\vec a × \vec b)$ is parallel to $\vec a-\vec b$