If $u=\int e^{a x} \sin b x d x$ and $v=\int e^{a x} \cos b x d x$, then $\left(u^2+v^2\right)\left(a^2+b^2\right)=$

$e^{2 a x}$

We have,

$u =\int e^{a x} \sin b x d x$ and $v=\int e^{a x} \cos b x d x$

$\Rightarrow u =\frac{e^{a x}}{a^2+b^2}(a \sin b x-b \cos b x)$

and, $v=\frac{e^{a x}}{a^2+b^2}(a \cos b x+b \sin b x)$

∴  $\left(u^2+v^2\right)\left(a^2+b^2\right)^2=e^{2 a x}\left(a^2+b^2\right)$

$\Rightarrow \left(u^2+v^2\right)\left(a^2+b^2\right)=e^{2 a x}$