Let $\vec a$ and $\vec b$ be two non-collinear unit vectors. If $\vec u = \vec a -(\vec a. \vec b) \vec b$ and $\vec v=\vec a×\vec b$, then $|\vec v|$ is |
$|\vec u| + |\vec u.(\vec a×\vec b)|$ $|\vec u| + |\vec u.\vec a|$ $|\vec u| + |\vec u.\vec b|$ $|\vec u| + \vec u. (\vec a + \vec b)$ |
$|\vec u| + |\vec u.\vec b|$ |
We have, $|\vec a|=|\vec b|=1$ Now, $\vec u=\vec a-(\vec a.\vec b)\vec b$ $⇒\vec u=(\vec b.\vec b)\vec a-(\vec b.\vec a)\vec b$ $⇒\vec u=\vec b×(\vec a×\vec b)$ ...(i) $⇒\vec u=\vec b×\vec v$ $⇒|\vec u|=|\vec b||\vec v|\sin\frac{π}{2}$ $[∵\vec v=\vec a×\vec b⇒\vec v⊥\vec b]$ $⇒|\vec u|=|\vec v|$ ...(ii) $[∵|\vec b|=1]$ So, option (1) is not correct. Again, $\vec u=\vec b×(\vec a×\vec b)$ [From (i)] $⇒|\vec u|$ is perpendicular to $\vec b$ $⇒\vec u.\vec b=0$ $∴|\vec u|+|\vec u.\vec b|=|\vec u|$ $⇒|\vec u|+|\vec u.\vec b|=|\vec v|$ [Using (ii)] Hence, option (c) is also correct. |