Let $\vec p, \vec q, \vec r$ be three mutually perpendicular vectors of the same magnitude. If a vector $\vec x$ satisfies the equation $\vec p × \{(\vec x −\vec q) × \vec p) + \vec q ×\{(\vec x − \vec r) ×\vec q\} + \vec r × \{(\vec x -\vec p) × \vec r\} = \vec 0$, then $\vec x$ is given by

$\frac{1}{2}(\vec p+\vec q+\vec r)$

We have,

$\vec p × \{(\vec x −\vec q) × \vec p) + \vec q ×\{(\vec x − \vec r) ×\vec q\} + \vec r × \{(\vec x -\vec p) × \vec r\} = \vec 0$

$⇒(\vec p.\vec p) (\vec x-\vec q)-\{\vec p.(\vec x-\vec q)\} \vec p+(\vec q.\vec q) (\vec x-\vec r)-\{(\vec q.(\vec x-\vec r)\}.\vec q+(\vec r.\vec r)(\vec x-\vec p)-\{\vec r.(\vec x-\vec p)\}\vec r = \vec 0$

$⇒(|\vec p|^2+|\vec q|^2+|\vec r|^2)\vec x-(|\vec p|^2\vec q+|\vec q|^2\vec r+|\vec r|^2\vec p)-\{(\vec p.\vec x) \vec p + (\vec q.\vec x) + (\vec r.\vec x)\vec r\}=0$

$⇒3λ^2\vec x-λ^2 (\vec p+\vec q+\vec r)-\{(\vec p.\vec x)\vec p+(\vec q.\vec x)\vec q+(\vec r.\vec x)\vec r\}=0$ where, $λ=|\vec p|=|\vec q|=|\vec r|$   ...(i)

$⇒3λ^2\vec x-λ^2(\vec p+\vec q+\vec r)-λ^2\vec x=\vec 0$  $\left[∵\vec x=\frac{(\vec p.\vec x)\vec p}{|\vec p|^2}+\frac{(\vec q.\vec x)\vec q}{|\vec q|^2}+\frac{(\vec r.\vec x)\vec r}{|\vec r|^2}\right]$

$⇒\vec x=\frac{1}{2}(\vec p+\vec q+\vec r)$