If $4 cos θ + 3 sin θ = x$ and $4 sin θ − 3 cos θ = y$, find the value of $x^ 2 + y^2$.

25

4 cos θ + 3 sin θ = x  and  4 sin θ − 3 cos θ = y

On squaring both the equations and adding ,

( 4 cos θ + 3 sin θ)² +( 4 sin θ − 3 cos θ )² =  x² + y²

16 cos² θ + 9 sin² θ + 24 cos θ . sin θ  + 16 sin² θ + 9 cos² θ . 24 cos θ . sin θ  =  x² + y²

16 cos² θ + 9 sin² θ + 16 sin² θ + 9 cos² θ  =  x² + y²

{ using sin² θ + cos² θ = 1 }

16 ( cos² θ + sin² θ) + 9 ( sin² θ + cos² θ)  =  x² + y²

x² + y² = 16 + 9

x² + y² = 25