If $11 \sin^{2} \theta - \cos^{2} \theta + 4 \sin \theta - 4 = 0, 0^\circ < \theta < 90^\circ$, then what is the value of $\frac{\cos 2\theta + \cot 2 \theta}{\sec 2 \theta - \tan 2 \theta}$

$\frac{12+7\sqrt{3}}{6}$

11 sin²θ - cos²θ + 4 sinθ - 4 = 0

{ sin²θ + cos²θ = 1 }

11 sin²θ - (1 - sin²θ) + 4 sinθ - 4 = 0

11 sin²θ - 1 + sin²θ + 4 sinθ - 4 = 0

12 sin²θ + 4 sinθ - 5 = 0

12 sin²θ + 10 sinθ - 6sinθ - 5 = 0

2sinθ ( 6sinθ +5 ) - 1 ( 6sinθ +5 ) = 0

( 2sinθ - 1 ). ( 6sinθ +5 ) = 0

Either ( 2sinθ - 1 ) = 0 Or  ( 6sinθ +5 ) = 0

( 6sinθ +5 ) = 0  is not possible.

So, 2sinθ - 1 = 0

sinθ = \(\frac{1}{2}\)

{ sin30º = \(\frac{1}{2}\) }

So, θ  = 30º

Now,

\(\frac{sin2θ  + cot2θ }{sec2θ - tan2θ }\)

= \(\frac{sin60º  + cot60º}{sec60º - tan60º }\)

= \(\frac{1/2  + √3}{2 -√3 }\)

= \(\frac{2  + √3}{2√3(2 -√3) }\)

= \(\frac{2  + √3}{2√3(2 -√3) }\) × \(\frac{2  + √3}{2 +√3}\)

= \(\frac{12  + 7√3}{6 }\)