If x + y + z = 3, $x^2 + y^2 + z^2 = 45$ and $x^3 + y^3 + z^3 = 69,$ then what is the value of xyz ?

-40

x + y + z = 3,

$x^2 + y^2 + z^2 = 45$

$x^3 + y^3 + z^3 = 69,$

then what is the value of xyz= ?

We know that, (x + y + z)² =  x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)

 x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z){( x² + y² + z² ) – (xy + yz +zx)}

Now,

= (x + y + z)² =  x² + y² + z²  + 2(xy + yz + zx)

= (3)² = 45 + 2(xy + yz +zx)

= 9 = 45 + 2(xy + yz +zx)

= -36 = 2(xy + yz +zx)

= (xy + yz +zx) = -18

Now,

x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z){( x² + y² + z² ) – (xy + yz +zx)}

= 69 – 3xyz = 3 {(45) – (-18)}

= 69 – 3xyz = 3 × {(45 + 18)}

= 69 – 3xyz = 3 × 63

= 69 – 3xyz = 189

= 3xyz = (69 – 189)

= 3xyz = -120

= xyz = -40