If $2x = 3y + 4z = 11, 8x^3 + 27y^3 + 64z^3 = 105$ and xyz = 1, then the value of $4x^2 + 9y^2 + 16z^2 - 6xy - 12 yz - 8xz $ is :

3

If $2x = 3y + 4z = 11,

8x^3 + 27y^3 + 64z^3 = 105$

xyz = 1,

then the value of $4x^2 + 9y^2 + 16z^2 - 6xy - 12 yz - 8xz $

We know that,

a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² + c² – ab – bc – ca)

2x³ + 3y³ + 4z³ – 3 × 2x × 3y × 4z = (2x + 3y + 4z) (2x² + 3y² + 4z² – 2x × 3y – 3y × 4z – 2x × 4z)

= 8x³ + 27y³ + 64z³ – 72xyz = (2x + 3y + 4z) (4x² + 9y² + 16z² – 6xy – 12yz – 8xz)

= 105 – 72 = 11 × (4x² + 9y² + 16z² – 6xy – 12yz – 8xz)

= 33 = 11 × (4x² + 9y² + 16z² – 6xy – 12yz – 8xz)

= (4x² + 9y² + 16z² – 6xy – 12yz – 8xz) = \(\frac{33}{11}\)

=  (4x² + 9y² + 16z² – 6xy – 12yz – 8xz) = 3