Let $\vec a,\vec b,\vec c$ be three vectors such that $\vec a×\vec b=\vec c,\,\vec b×\vec c = \vec a,\, \vec c×\vec a=\vec b$ then:

$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|$

$\vec a×\vec b=\vec c⇒(\vec a×\vec b).\vec c=|\vec c|^2⇒|\vec c|^2=[\vec a,\vec b,\vec c]$

$\vec b×\vec c = \vec a⇒\vec a.(\vec b×\vec c)=|\vec a|^2⇒|\vec a|^2=[\vec a,\vec b,\vec c]$

$\vec c×\vec a=\vec b⇒(\vec c×\vec a).\vec b=|\vec b|^2⇒|\vec b|^2=[\vec a,\vec b,\vec c]$

$⇒|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|$