If $\vec a,\vec b,\vec c$ and $\vec a',\vec b',\vec c'$ form a reciprocal system of vectors, then  $\vec a×\vec a'+\vec b×\vec b'+\vec c×\vec c' =$

$\vec 0$

We have,

$\vec a×\vec a'=\vec a×λ(\vec b×\vec c)=λ\{\vec a×(\vec b×\vec c)\}$

$⇒\vec a×\vec a'=λ\{(\vec a.\vec c)\vec b-(\vec a.\vec b)\vec c\}$

$\vec b×\vec b'=\vec b×λ(\vec c×\vec a)=λ\{\vec b×(\vec c×\vec a)\}$

$⇒\vec b×\vec b'=λ\{(\vec b.\vec a)\vec c-(\vec b.\vec c)\vec a\}$

and,

$\vec c×\vec c'=\vec c×λ(\vec a×\vec b)=λ\{\vec c×(\vec a×\vec b)\}$

$⇒\vec c×\vec c'=λ\{(\vec c.\vec b)\vec a-(\vec c.\vec a)\vec b\}$

$∴\vec a×\vec a'+\vec b×\vec b'+\vec c×\vec c'$

$=λ\{(\vec a.\vec c)\vec b-(\vec a.\vec b)\vec c\}+λ\{(\vec b.\vec a)\vec c-(\vec b.\vec c)\vec a\}+λ\{(\vec c.\vec b)\vec a-(\vec c.\vec a)\vec b\}$

$=λ[(\vec a.\vec c)\vec b-(\vec a.\vec b)\vec c+(\vec b.\vec a)\vec c-(\vec b.\vec c)\vec a+(\vec c.\vec b)\vec a-(\vec c.\vec a)\vec b]$

$=λ[(\vec a.\vec c)\vec b-(\vec a.\vec b)\vec c+(\vec a.\vec b)\vec c-(\vec b.\vec c)\vec a+(\vec b.\vec c)\vec a-(\vec a.\vec c)\vec b]$

$=λ\vec 0=\vec 0$.