If $\vec r×\vec b = \vec c×\vec b$ and $\vec r ⊥ \vec a$, then $\vec r$ is equal to

$\frac{\vec a×(\vec c×\vec b)}{\vec a.\vec b}$

We have,

$\vec r×\vec b = \vec c×\vec b$

$⇒(\vec r-\vec c)×\vec b =\vec 0⇒\vec r-\vec c=λ\vec b⇒\vec r=\vec c+λ\vec b$

Now,

$\vec r ⊥ \vec a⇒\vec r.\vec a=0⇒(\vec c+λ\vec b).\vec a=0⇒λ=-\frac{\vec c.\vec a}{\vec b.\vec a}$

$∴\vec r=\vec c-\frac{\vec c.\vec a}{\vec b.\vec a}\vec b=\frac{(\vec a.\vec b)\vec c-(\vec a.\vec c)\vec b}{\vec a.\vec b}=\frac{\vec a×(\vec c×\vec b)}{\vec a.\vec b}$