If $\vec u,\vec v,\vec w$ are three non-coplanar vectors, then $(\vec u+\vec v-\vec w). (\vec u-\vec v)×(\vec v-\vec w)$ equals

$\vec u.(\vec v×\vec w)$

We have,

$(\vec u+\vec v-\vec w). (\vec u-\vec v)×(\vec v-\vec w)$

$=\begin{bmatrix}\vec u+\vec v-\vec w&\vec u-\vec v&\vec v-\vec w\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}\vec u+\vec v-\vec w&\vec u-\vec v+0\vec w&0\vec u+\vec v-\vec w\end{bmatrix}$

$=\begin{vmatrix}1&1&-1\\1&-1&0\\0&1&-1\end{vmatrix}[\vec u\,\,\vec v\,\,\vec w]$

$=[\vec u\,\,\vec v\,\,\vec w]=\vec u.(\vec v×\vec w)$