If $\sin \left(\frac{2A + B}{2}\right) = \cos \left(\frac{2A - B}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}, 0^\circ < \frac{2A + B}{2} < 90^\circ$ and $0^\circ < \frac{2A + B}{2} < 90^\circ$ then find the value of $\sin[3(A - B)]$.
Answer & explanation
Correct answer: option 2
We are given that :-
sin( \(\frac{2A + B }{2}\) ) = cos( \(\frac{2A - B }{2}\) ) = \(\frac{ √3}{2}\)
{ we know, sin 60º = cos30º = \(\frac{ √3}{2}\) }
So, ( \(\frac{2A + B }{2}\) ) = 60º
2A + B = 120º ----(1)
& ( \(\frac{2A - B }{2}\) ) = 30º
2A - B = 60º ----(2)
On adding equation 1 and 2 ,
4A = 120º + 60º
4A = 180º
A = 45º
Now , put value of A in eqn 1 .
2 × 45º + B = 120º
B = 30º
Now,
sin [ 3 (A - B) ]
= sin [ 3 (45º - 30º) ]
= sin 45º
= \(\frac{1}{√2}\)