If $\int\limits_0^x f(t) d t=x+\int\limits_x^1 t f(t) d t$, then the value of $f(1)$, is

1/2

We have,

$\int\limits_0^x f(t) d t=x+\int\limits_x^1 t f(t) d t$

$\Rightarrow \frac{d}{d x}\left\{\int\limits_0^x f(t) d t\right\}=\frac{d}{d x}\left\{x+\int\limits_x^1 t f(t) d t\right\}$

$\Rightarrow f(x)=1+0-x f(x)$         [Using Leibnitz's rule]

$\Rightarrow f(x)=1-x f(x)$

$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x+1} \Rightarrow f(1)=\frac{1}{2}$