Let $\vec a =2\hat i+\hat j+\hat k, \vec b =\hat i+2\hat j+\hat k$ and $\vec c=2\hat i-3\hat j+4\hat k$. A vector $\vec r$ satisfying $\vec r×\vec b = \vec c×\vec b$ and $\vec r.\vec a=0$, is

$\hat i-5\hat j+3\hat k$

We have,

$\vec r×\vec b = \vec c×\vec b$

$⇒(\vec r-\vec c)×\vec b =\vec 0⇒\vec r-\vec c=λ\vec b⇒\vec r=\vec c+λ\vec b$

Now, $\vec r.\vec a=0⇒(\vec c+λ\vec b).\vec a=0⇒λ=-\frac{\vec c.\vec a}{\vec b.\vec a}=-1$

Hence, $\vec r=\vec c-\vec b=\hat i-5\hat j+3\hat k$