$\int\frac{(x-1)e^x}{x^2}dx, x> 0$ equals (where C is an arbitrary constant)

$\frac{e^x}{x}+C$

The correct answer is Option (2) → $\frac{e^x}{x}+C$

Integral: $\int \frac{(x-1)e^x}{x^2} \, dx$

Split the fraction: $\frac{(x-1)e^x}{x^2} = \frac{xe^x}{x^2} - \frac{e^x}{x^2} = \frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2}$

So: $\int \frac{(x-1)e^x}{x^2} \, dx = \int \frac{e^x}{x} \, dx - \int \frac{e^x}{x^2} \, dx$

Use formula: $\int \frac{e^x}{x^2} \, dx = -\frac{e^x}{x} + \int \frac{e^x}{x} \, dx$

Then: $\int \frac{e^x}{x} \, dx - \int \frac{e^x}{x^2} \, dx = \int \frac{e^x}{x} \, dx - \left(-\frac{e^x}{x} + \int \frac{e^x}{x} \, dx \right) = \frac{e^x}{x}$

Answer: $\frac{e^x}{x} + C$