If $\vec a,\vec b,\vec c$ are three non-zero vectors such that $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$ and $m=\vec a.\vec b+\vec b.\vec c+\vec c.\vec a$, then:

m < 0

$\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$ and $m=\vec a.\vec b+\vec b.\vec c+\vec c.\vec a$

$|\vec a+\vec b+\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2+2m$;

$0-2m=|\vec a|^2+|\vec b|^2+|\vec c|^2>0⇒m<0$