For any four points $P, Q, R, S$, $|\vec{PQ}×\vec{RS}-\vec{QR}×\vec{PS} +\vec{RP}×\vec{QS}|$ is equal to 4 times the area of the triangle

$QRS$

Let $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$ be the position vectors of points P, Q, R and S respectively. Then,

$\vec{PQ}×\vec{RS}=(\vec b-\vec a)×(\vec d-\vec c)=\vec b×\vec d-\vec b×\vec c+ \vec d×\vec a-\vec c× \vec a$

$\vec{QR}×\vec{PS}=(\vec c-\vec b)×(\vec d-\vec a)=\vec c×\vec d-\vec c×\vec a-\vec b×\vec d-\vec a×\vec b$

$\vec{RP}×\vec{QS}=(\vec a-\vec c)×(\vec d-\vec b) =\vec a×\vec d-\vec a×\vec b-\vec c×\vec d-\vec b×\vec c$

$∴\vec{PQ}×\vec{RS}-\vec{QR}×\vec{PS} +\vec{RP}×\vec{QS}=\vec b×\vec d-\vec b×\vec c+ \vec d×\vec a-\vec c× \vec a-\vec c×\vec d-\vec c×\vec a-\vec b×\vec d-\vec a×\vec b+\vec a×\vec d-\vec a×\vec b-\vec c×\vec d-\vec b×\vec c$

$=2(\vec b×\vec d)-2(\vec b×\vec c)+2(\vec c×\vec d)$

$=2\left\{\vec b×\vec d+\vec c×\vec b+\vec d×\vec c\right\}$

$=2(\vec{QS}×\vec{QR})$ = 4 Area of ΔQSR