$\int\left(1+x-x^{-1}\right) e^{x+x^{-1}} d x$, is equal to

$x e^{x+x^{-1}}+C$ $-x e^{x+x^{-1}}+C$ $(x+1) e^{x+x^{-1}}+C$ $(x-1) e^{x+x^{-1}}+C$

$x e^{x+x^{-1}}+C$

Let $I=\int\left(1+x-x^{-1}\right) e^{x+x^{-1}} d x$. Then, $I=\int e^{x+x^{-1}} d x+\int x\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{x+\frac{1}{x}} d x$ $\Rightarrow I=\int e^{x+x^{-1}} d x+x e^{x+\frac{1}{x}}-\int e^{x+x^{-1}} d x+C$ $\Rightarrow I=x e^{x+x^{-1}}+C$