If f(x)=f(a+b-x), then ∫limits_a^b x f(x) d x is equal to

Let $I=\int\limits_a^b x f(x) d x$. Then,

$I=\int\limits_a^b(a+b-x) f(a+b-x) d x$

$\Rightarrow I =(a+b) \int\limits_a^b f(a+b-x) d x-\int\limits_a^b x f(a+b-x) d x$

$\Rightarrow I =(a+b) \int\limits_a^b f(x) d x-\int\limits_a^b x f(x) d x~~~[∵ f(a+b-x)=f(x)]$

$\Rightarrow I =(a+b) \int\limits_a^b f(x) d x-I$

$\Rightarrow 2 I =(a+b) \int\limits_a^b f(x) d x \Rightarrow I=\frac{a+b}{2} \int\limits_a^b f(x) d x$