The value of $\frac{\left(\cos 9^{\circ}+\sin 81^{\circ}\right)\left(\sec 9^{\circ}+{cosec} 81^{\circ}\right)}{2 \sin ^2 63^{\circ}+1+2 \sin ^2 27^{\circ}}$ is:

$\frac{4}{3}$

By using concept :-

sinA = ccosB  Iff A + B = 90º

sinA = \(\frac{1}{cosecA}\)

secA = \(\frac{1}{cosA}\)

sin²A + cos²A = 1

Now,

\(\frac{(cos9º+sin81º).(sec9º+cosec81º)}{2sin²63º + 1 + 2 sin²27º}\)

= \(\frac{ cos9º.sec9º + cos9º.cosec81º + sin81º.sec9º+ sin81º.cosec81º}{2sin²63º + 1 + 2 cos²63º}\)

= \(\frac{ 1 + sin81º.cosec81º + cos9º.sec9º+1}{2 + 1 }\)

= \(\frac{ 1 + 1 +1+1}{2 + 1 }\)

= \(\frac{4}{3 }\)