Non-zero vectors $\vec a,\vec b$ and $\vec c$ satisfy $\vec a. \vec b =0, (\vec b+\vec c)=0$ and $2|\vec b+\vec c|=|\vec b-\vec a|$. If $\vec a=μ\vec b+4\vec c$, then the possible values of $μ$ are:

0, 5

We have,

$\vec a =μ\vec b+4\vec c$

$⇒\vec a. \vec b =μ (\vec b. \vec b)+4(\vec b. \vec c)$

$⇒0=μ|\vec b|^2+4(\vec b.\vec c)$    $∵\vec a. \vec b=0$

$⇒\vec b. \vec c=-\frac{μ}{4}|\vec b|^2$   ...(i)

Now, $(\vec b-\vec a) (\vec b+\vec c)=0$

$⇒|\vec b|^2+\vec b. \vec c=\vec a.\vec c$

$⇒|\vec b|^2+\vec b. \vec c(μ\vec b+4\vec c).\vec c$

$⇒|\vec b|^2+\vec b. \vec c=μ(\vec b. \vec c)+4|\vec c|^2$

$⇒|\vec b|^2+(1-μ)(\vec b. \vec c)-4|\vec c|^2=0$

$⇒4|\vec b|^2-(1-μ)μ|\vec b|^2=16|\vec c|^2$   [Using (i)]

$⇒(μ^2-μ+4)|\vec b|^2=16|\vec c|^2$   ...(ii)

and, $2|\vec b+\vec c|=|\vec b-\vec a|$

$⇒4|\vec b|^2+4|\vec c|^2+8(\vec b.\vec c) =|\vec b|^2+|\vec a|^2$

$⇒3|\vec b|^2+4|\vec c|^2+8(\vec b.\vec c) =|\vec a|^2$

$⇒3|\vec b|^2+4|\vec c|^2+8(\vec b.\vec c) =|μ\vec b+4\vec c|^2$

$⇒(3-μ^2)|\vec b|^2+8(1-μ) (\vec b.\vec c)=12|\vec c|^2$

$⇒(μ^2-2μ+3)|\vec b|^2=12|\vec c|^2$   ...(iii)

From (ii) and (iii), we get

$\frac{μ^2-2μ+3}{μ^2-μ+4}=\frac{12}{16}$

$⇒μ^2-5μ=0⇒μ=0,5$