The value of $\tan ^{-1}\left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right]$ is :

$\frac{\pi}{4}$

$\tan ^{-1}\left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right]$

$=\tan ^{-1}\left[2 \cos \left(2 \times \frac{\pi}{6}\right)\right]$           [Since $\sin^{-1}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$]

$=\tan ^{-1}\left(2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$           [Since $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$]

$=\tan ^{-1}\left(2 \times \frac{1}{2}\right)$

$=\tan ^{-1}(1)=\pi / 4$

$=\frac{\pi}{4}$