If $I=\int \frac{\sin 2 x}{(3+4 \cos x)^3} d x$, then $I=$

$\frac{3+8 \cos x}{16(3+4 \cos x)^2}+C$

We have,

$I =2 \int \frac{\cos x \sin x}{(3+4 \cos x)^3} d x$

$\Rightarrow I =-\frac{1}{2} \int \frac{\cos x}{(3+4 \cos x)^3} d(3+4 \cos x)$

$\Rightarrow I=-\frac{1}{2} \int \frac{t-3}{4 t^3} d t$, where $t=3+4 \cos x$

$\Rightarrow I=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t}-\frac{3}{2 t^2}\right)+C$

$\Rightarrow I=\frac{2 t-3}{16 t^2}+C=\frac{8 \cos x+3}{16(3+4 \cos x)^2}+C$